Sistem Bilangan
Banyak sistem bilangan yang digunakan pada
piranti digital, dan yang biasa digunakan ialah sistem-sistem bilangan biner,
oktal, decimal, dan heksa decimal. . Untuk memudahkan pembahasan, kita membagi
sistem bilangan menjadi basis-10 dan basis ke-n, dimana n > 2. Sehingga
dikenal banyak sistem seperti basis –2, basis-3, …, basis-8, …,basis-10, …, basis-16,
dan seterusnya. Semua sistem bilangan tersebut termasuk kedalam sistem bilangan
berbobot, artinya nilai sustu angka tergantung dari posisi relatifnyaterhadap
koma atau angka satuan. Misalnya bilangan 5725,5 dalam decimal. Ketiga angka 5
memiliki nilai yang berbeda, angka 5 paling kanan bernilai lima persepuluhan,
angka 5 yang tengah bernilai lima satuan sedangkan angka 5 yang lainnya bernilai
lima ribuan.
Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem bilangan tertentu
digunakan konvensi notasi. Untuk basis-n kita menggunakan indeks n atau tanda
lain yang disepakati. Sebagai contoh bilangan ‘11’ basis-2 akan ditulis dalam
bentuk ‘112’ untuk mencegah terjadinya salah pengertian dengan bilangan ‘118’,
‘1110’ atau ‘1116’ dan seterusnya. Kadang-kadang indeks tersebut tidak
dicantumkan jika basis tersebut sudah jelas. Misalkan secara khusus sedang
membahas bilangan basis-8, maka bilangan-bilangan dalam pembahasan tersebut
tidak disertai indeks. Sering pula.
2.1 Basis-10 (desimal)
Dalam sistem decimal (basis-10) mempunyai simbol
angka (numeric) sebanyak 10 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan
9. nilai suatu bilangan dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai Σ(N x 10a)
dengan N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan a = …, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3,
…(bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan ).
Contoh : 32510 = 3 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100 0,6110 = 0 x 100 + 6 x 10-1 + 11 x
10-2 + 6 x 101 + 1 x 10-2 9407,10810 = 9 x 103 + 4 x 102 + 7 x 100 + 1 x 10-1 +
8 x 10-3
2.2 Basis-2 (biner)
Dalam sistem biner (basis-2) mempuyai simbol
angka (numeric) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0 dan 1. nilai suatu bilangan
basis-2 dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai Σ(N x 2a) dengan N = 0 atau 1;
dan a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam decimal yang
menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan). Contoh :
11012 = 1 x 23 + 1 x 22 +1 x 20 = 8 + 4 + 1 = 1310 0,101 = 0 x 20
+ 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 0,62510 11,01 = 1 x 21 +
1 x 20 + 1 x 2-2 = 2 + 1 + 0,25 = 3,2510
2.3 Basis-8 (octal)
Dalam sistem octal (basis-8) mempunyai simbol
angka (numerik) sebanyak 8 buah symbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 .
nilai suatu bilangan basis-8 dalam basis 10 dapat dinyatakan sebagai Σ(N x 8a)
dengan N = 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, dan 7; dan a = …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
…(bilangan bulat dalam decimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma
atau satuan). Contoh : 647,358 = 6 x 82 + 4 x 81 + 7 x 80 + 3 x 8-1 + 5 x 8-2 =
384 + 32 + 7 + 0,375 + 0,078125 = 423,45312510
2.4 Sis-16 (heksa-desimal)
Dalam sistem heksa-desimal (basis-16)
mempunyai simbol angka (numerik) sebanyak 16 buah simbol. Karena angka yang
telah dikenal ada 10 maka perlu diciptakan 6 buah symbol angka lagi yaitu A, B,
C, D, E, dan F dengan nilai A16 = 1010, B16 = 1110, C16 = 1210, D16 =1310, E16
= 1410 dan F16 =1510. Dengan demikian simbol angka-angka untuk sistem
heksa=decimal adalah 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. nilai
suatu bilangan basis-16
dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai Σ(Nx 16a) dengan N = 0, 1,
2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, dan 15; dan a = …, -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, …(bilangan bulat dalam decimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap
koma atau satuan). Contoh : 584AED16 = 5 x 165 + 8 x 164 + 4 x 163 + 10 x 162 +
14 x 161 + 13 x 160 = 5242880 + 524288 + 16384 + 2560 + 224 + 13 =
14,0664062510
2.5. Konversi (Pengubahan) Bilangan
Ada kalanya kita perlu menyatakan suatu
bilangan dalam basis yang berbeda atau mengubah (mengkorversi) suatu bilangan
dari satu basis yang satu ke basis yang lain. Misalkan, kenversi bilangan dari
basis-n ke basis-10, kenversi bilangan dari basis-10 ke basis-n, atau konversi
dari basis-n ke basis-m. untuk kenversi bilangan dari basis-n ke basis-10telah
dikemukakan ketika menyatakan nilai suatu bilangan dari basis-n ke dalam
basis-10.
2.6 Konversi bilangan basis-10 ke basis-n
Setidaknya ada 2 cara untuk mengubah bilangan
decimal menjadi bilangan dalam basis selain 10. Cara pertama, biasanya untuk
bilangan yang kecil, adalah kebalikan dari proses kenversi bilangan dari
basis-n (selain 10) ke basis-10 (decimal). Bilangan decimal itu dinyatakan
sebagai jumlah dari suku-suku yang setiap suku merupakan hasil kali suatu angka
(N) dan bilangan pangkat bulat, kemudian angka-angka tersebutdituliskan dalam
posisi yang sesuai. Secara umum dapat dituliskan sebagai : (Bilangan)10 = Σ(N x
na)
dengan N menyatakan simbol angka yang diijinkan dalam basis-n, n
menyatakan basis bilangan yang dituju, a
Cara kedua dikenal
dengan pembagian berulang. Cara ini sangat baik untuk bilangan decimal
yang kecil maupun yang besar. Cara konversi ialah membagi bilangan decimal dan
hasil baginya secara berulang dengan basis tujuan kemudian menuliskan sisanya
hingga diperoleh hasil bagi 0. Hasil kenversinya adalah menuliskan sisa pertama
pada posisi yang paling kecil dan sisa terakhir pada posisi yang paling besar.
4 A 3 E Jadi 1900610 =
4A3E16 Untuk mengubah bilangan decimal tidak bulat dilakukan dengan dua
tahap. Tahap pertama mengubah bagian bulat (disebelah kiri tanda koma) dengan
cara seperti yang telah dijelaskan diatas. Tahap kedua mengubah bagian
pecahannya (disebelah kanan tanda koma) dengan cara bahwa bilangan pecahan dikalikan
berulang-ulang dengan basis tujuan sampai hasil perkalian terakhir sama
dengan 0 setelah angka disebelah kiri tanda koma dari hasil kali setiap
perkalian diambil. Selanjutnya angka-angka disebelah kiri koma yang diambil
tadi dituliskan secara berderet dari kiri kekanan.
.
2.7 Konversi bilangan dari basis-n ke basis-m (keduanya bukan
basis-10)
Untuk mengkonversi suatu bilangan basis-n
(bukan basis-10) menjadi bilangan basis-m (bukan basis-10) dengan n ≠ m
diperlukan konversi ke basis-10 sebagai perantara. Kita telah akrab dengan
bilangan basis-10. Dengan demikian perlu dua tahap konversi. Tahap pertama
mengkonversi bilangan dari basis-n ke basis-10, dan tahap kedua mengkonversi
bilangan hasil tahap pertama (dalam basis-10) menjadi basis-m. sebagai contoh
ubahlah bilangan 2378 menjadi bilangan yang setara dalam basis-5 ! Tahap 1 :
2378 = 2 x 82 +3x81 +7x80 = 128 + 24 + 7 = 15910. Tahap 2 : 15910 = 1 x 53 + 1
x 52 + 1 x 51 + 4 x 50 = 11145 Jadi 2378 = 1145 Contoh berikutnya adalah
mengubah bilangan 52DA16 ke dalam basis-12 yang setara. Tahap 1 : 52DA16 = 5 x
163 + 2 x 162 + 13 x 161 + 10 x 160 = 2121010 Tahap 2 : 2121010 =
1x124+0x123+4x122+3x121+6x120 =1043612 Jadi 52DA16 = 104361
2.8 Operasi Bilangan
Dalam sistem decimal telah dikenal dengan
baik mengenai operasi dasar bilangan, yakni penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi bilangan tersebut juga dapat
dikenakan pada sistem bilangan yang lain seperti dalam sistem-sistem bilangan
biner, basis-5, octal, heksa-desimal, dan seterusnya. Tetapi pembahasan operasi
kali ini lebih banyak pada sistem biner, sedangkan untuk sistem bilangan yang
lain akan dikemukakan contoh hanya apabila dipandang perlu. Prinsip-prinsip
penggunaan operasi bilangan itu sama dengan yang diterapkan pada sistem
decimal. Oleh karena belum akrab dengan sistem bilangan selain decimal, maka
untuk memudahkan pelaksanaan operasi hitung perlu pertolongan table operasi.
